Mikä polynomi p(n) tuottaa seuraavan lukusarjan?
| n | p(n) |
|---|---|
| 0 | 8 |
| 1 | 10 |
| 2 | 42 |
| 3 | 134 |
| 4 | 316 |
| 5 | 618 |
| 6 | 1070 |
| 7 | 1702 |
Ratkaisua voi lähteä etsimään laskemalla peräkkäisten lukujen erotuksia, kunnes kaikki luvut ovat samat. Tässä esimerkissä käy näin:
| n | taso 0 | taso 1 | taso 2 | taso 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 8 | |||
| 2 | ||||
| 1 | 10 | 30 | ||
| 32 | 30 | |||
| 2 | 42 | 60 | ||
| 92 | 30 | |||
| 3 | 134 | 90 | ||
| 182 | 30 | |||
| 4 | 316 | 120 | ||
| 302 | 30 | |||
| 5 | 618 | 150 | ||
| 452 | 30 | |||
| 6 | 1070 | 180 | ||
| 632 | ||||
| 7 | 1702 |
Kun tasolla n kaikki luvut ovat samoja, kyseessä on n. asteen polynomi, jonka korkeimman termin kerroin on tasolla n oleva luku jaettuna n!:lla. Tässä tasolla 3 kaikki luvut ovat samoja ja kerroin on 30/3! = 5. Polynomi on siis muotoa 5n3 + ?.
Päivitetään alkuperäistä taulukkoa:
| n | p(n) | p(n)-5n3 |
|---|---|---|
| 0 | 8 | 8 |
| 1 | 10 | 5 |
| 2 | 42 | 2 |
| 3 | 134 | -1 |
| 4 | 316 | -4 |
| 5 | 618 | -7 |
| 6 | 1070 | -10 |
| 7 | 1702 | -13 |
Etsitään samalla menetelmällä polynomin seuraavaksi suurimman termin kerrointa:
| n | taso 0 | taso 1 |
|---|---|---|
| 0 | 8 | |
| -3 | ||
| 1 | 5 | |
| -3 | ||
| 2 | 2 | |
| -3 | ||
| 3 | -1 | |
| -3 | ||
| 4 | -4 | |
| -3 | ||
| 5 | -7 | |
| -3 | ||
| 6 | -10 | |
| -3 | ||
| 7 | -13 |
Kyseessä on 1. asteen polynomi, jonka kerroin on -3/1! = -3. Alkuperäinen polynomi on siis muotoa 5n3 - 3n + ?.
Päivitetään taas alkuperäistä taulukkoa:
| n | p(n) | p(n)-5n3 | p(n)-5n3+3n |
|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 8 | 8 |
| 1 | 10 | 5 | 8 |
| 2 | 42 | 2 | 8 |
| 3 | 134 | -1 | 8 |
| 4 | 316 | -4 | 8 |
| 5 | 618 | -7 | 8 |
| 6 | 1070 | -10 | 8 |
| 7 | 1702 | -13 | 8 |
Nyt taulukosta näkee suoraan, että polynomista puuttuva osa on 0. asteen polynomi (eli vakiopolynomi) 8. Siis alkuperäinen polynomi on 5n3 - 3n + 8.
Esimerkiksi jos n = 6, niin 5n3 - 3n + 8 = 1070, mikä vastaa alkuperäistä taulukkoa.